Aire d'un cercle
La formule
Aire = π × rayon², avec π ≈ 3,14159.
Le résultat est dans l'unité de longueur au carré : un rayon en centimètres donne des cm², un rayon en mètres des m².
Exemples détaillés
- Un cercle de 5 cm de rayon : π × 25 = 78,54 cm².
- Une table ronde de 1,20 m de diamètre (rayon 0,6 m) : π × 0,36 = 1,13 m².
- Un massif circulaire de 3 m de diamètre (rayon 1,5 m) : π × 2,25 = 7,07 m² — utile pour commander terreau ou paillage.
La question de la pizza
Le rayon étant élevé au carré, l'aire augmente bien plus vite que le diamètre :
| Diamètre de la pizza | Aire | Par rapport à 20 cm |
|---|---|---|
| 20 cm | 314 cm² | × 1 |
| 26 cm | 531 cm² | × 1,7 |
| 30 cm | 707 cm² | × 2,25 |
| 40 cm | 1 257 cm² | × 4 |
Une pizza de 30 cm est 50 % plus large qu'une 20 cm mais offre 2,25 fois plus à manger ; une 40 cm équivaut à quatre 20 cm. Comparer le prix au cm² montre souvent que la grande taille est la plus avantageuse.
Les erreurs fréquentes
- Utiliser le diamètre au lieu du rayon : divisez d'abord le diamètre par deux. Avec le diamètre par erreur, l'aire est quatre fois trop grande.
- Mélanger les unités : convertissez tout dans la même unité avant le calcul, puis utilisez le convertisseur de surfaces si besoin (1 m² = 10 000 cm²).
- Arrondir π trop tôt : 3,14 suffit pour une estimation, mais gardez plus de décimales pour un calcul précis.
Formules associées
- Rayon à partir de l'aire : r = √(A ÷ π). Une pelouse circulaire de 50 m² a un rayon de √(50 ÷ π) ≈ 3,99 m.
- Aire à partir du périmètre P : A = P² ÷ (4π).
- Demi-disque : π r² ÷ 2 ; quart de disque : π r² ÷ 4.
En toute rigueur, on parle de l'aire d'un disque (la surface) et du périmètre d'un cercle (la ligne), mais l'usage courant dit « aire du cercle ». Le calculateur de circonférence donne la longueur du contour, et ceux du cylindre et de la sphère prolongent ces formules en trois dimensions.
Questions fréquentes
Comment calculer l'aire avec le diamètre ?
Divisez le diamètre par 2 pour obtenir le rayon, puis appliquez π × r². Pour 10 cm de diamètre : π × 5² = 78,54 cm².
Comment trouver le rayon à partir de l'aire ?
Divisez l'aire par π et prenez la racine carrée : r = √(A ÷ π). Pour 100 cm², r ≈ 5,64 cm.
Pourquoi doubler le diamètre quadruple-t-il l'aire ?
L'aire dépend du carré du rayon : doubler le rayon multiplie l'aire par 2² = 4.