Volume d'un cône
La formule
Volume = π × rayon² × hauteur ÷ 3
Un cône contient exactement un tiers d'un cylindre de même base et de même hauteur — un résultat connu des mathématiciens grecs, et facile à vérifier en remplissant trois fois un cône pour vider un cylindre de mêmes dimensions.
Exemples détaillés
- Un cône de 3 cm de rayon et 12 cm de haut : π × 9 × 12 ÷ 3 = 113,1 cm³.
- Un cornet de glace de 5 cm de diamètre (rayon 2,5 cm) et 10 cm de profondeur : 65,4 cm³, environ 6,5 cl.
- Un tas de sable de 4 m de diamètre (rayon 2 m) et 1,20 m de haut : π × 4 × 1,2 ÷ 3 ≈ 5,03 m³. Avec un sable d'environ 1,6 tonne par m³, cela représente environ 8 tonnes.
Hauteur ou génératrice ?
La formule utilise la hauteur verticale, du sommet au centre de la base. La génératrice g (ou hauteur oblique) se mesure le long du côté. Elles sont liées par Pythagore :
- h = √(g² − r²)
- Un cône de rayon 3 et de génératrice 5 a une hauteur de √(25 − 9) = 4.
Tas de matériaux et angle de talus
Les matériaux en vrac forment des cônes dont la pente dépend de la matière — environ 30 à 35° pour du sable sec ou du gravier. Si vous ne pouvez mesurer que le tour C à la base d'un tas, déduisez le rayon avec r = C ÷ (2π), estimez la hauteur et appliquez la formule. C'est une méthode courante pour estimer des quantités de sable, gravier, sel ou grain.
Le cône tronqué
Beaucoup d'objets réels — seaux, pots de fleurs, abat-jour — sont des cônes tronqués, de rayon R en bas et r en haut :
V = π × h × (R² + R × r + r²) ÷ 3
Un seau de 30 cm de haut, de 15 cm de rayon en haut et 12 cm en bas, contient π × 30 × (225 + 180 + 144) ÷ 3 ≈ 17 250 cm³, soit environ 17 litres.
La surface
Surface latérale = π × r × g ; ajoutez π × r² pour la base. Utile pour fabriquer un cône en papier ou en tôle. Le calculateur de volume du cylindre gère les contenants à bords droits.
Questions fréquentes
Pourquoi le volume du cône vaut-il un tiers de celui du cylindre ?
À base et hauteur égales, le cône se rétrécit jusqu'à une pointe et contient exactement trois fois moins. Eudoxe et Archimède l'ont démontré dans l'Antiquité.
Et si je ne connais que la génératrice ?
Calculez la hauteur verticale avec Pythagore : h = √(g² − r²), puis appliquez la formule.
Comment calculer le volume d'un seau ou d'un pot de fleurs ?
Avec la formule du cône tronqué : V = πh(R² + Rr + r²) ÷ 3, R et r étant les rayons aux deux extrémités.